一元三次方程怎么解

卡尔丹公式法；盛金公式法；因式分解法。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。

一元二次方程的标准形式（即所有一元一次方程经整理都能得到的形式）是ax^3+bx^2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。

若用A、B换元后，公式可简记为：x1=A^(1/3)+B^(1/3)；x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2；x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根；当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等；当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。一元三次方程有三种解法，包括卡尔丹公式法、盛金公式法和因式分解法。

简单地说就是公式法和因式分解法。和一元二次方程的解法中的公式法和因式分解法有相似之处，公式法适用于一切方程，而因式分解法一般只适用于存在有理数根的方程。当然三次方程应用因式分解法的主要目的是为了降次，因此它也有可能在存在无理根或复数根时使用因式分解法。

我们平时用得比较多的还是因式分解法。比如x^3-1=0或x^3+1=0，都有因式分解的公式可以直接应用。前者得到(x-1)(x^2+x+1)=0，后者得到(x+1)(x^2-x+1)=0. 由此得到方程的一个有理根和一对共轭虚根。

当然，这里的1可以换成任意实数，因为任意实数都可能写成一个数的三次方。对于标准型的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，以上所举的例子属于a=1, b=0, c=0的特殊形式。当b,c至少有一个不等于0时，一元三次方程就不一定能分解出一个有理根。所以因式分解法并不一定适用于所有一元三次方程。

这时候如果想要使用因式分解法，就必须满足存在有理根的条件，否则很难因式分解。比如三次方程：x^3+x^2-x+2=0，通过观察，我们可以用多项式x^3+x^2-x+2除以x+2，就得到x^2-x+1，因此可以用因式分解法得到(x+2)(x^2-x+1)=0，同样可以得到一个实根x=-2，和两个共轭虚根。但是三次方程x^3+x^2-x+1=0就无法应用因式分解法了。这时候就要用公式法。

卡尔丹公式法相对比较复杂，而盛金公式法就简单得多。纯讲知识的内容既干枯燥又难懂，因此接下来就对这个方法，分别运用两个公式，做一个演示，希望能你从演示的过程中得到启发，学会这两种公式法。三次方程x^3+x^2-x+1=0中，a=1, b=1, c=-1，d=1. 令x=y-b/(3a)=y-1/3代入方程，得到：(y-1/3)^3+(y-1/3)^2-(y-1/3)+1=0，化简得y^3-4y/3+38/27=0. 这是特殊型的一元三次方程y^3+py+q=0(p,q∈R). 其中p=-4/3, q=38/27.接下来求卡尔丹判别式：△=(q/2)^2+(p/3)^3=361/729-64/729=11/27. 当Δ>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。这里属于第二种情形。

u=三次根号内(-q/2+根号(△))=三次根号内(-19/27+根号(11/27))=三次根号内(-19+3倍根号33)/3, v=三次根号内(-19-3倍根号33)/3.而方程的实根y1=u+v. 两个共轭虚根分别是y2=wu+w^2v和y3=w^2u+wv，其中w=(-1+根号3 i)/2. 把u,v代入耐心求解就可以得到y的三个解。最后还要代入x=y-1/3，求得x的三个解。

一元三次方程怎么解?

一元三次方程的解法如下：有的一元三次方程，一边是零，另一边可以化为三个一次的含有未知数的式子，我们可以把方程化为三个一次式子，再令每个因式分别为零，最后解得这个方程的三个根。一元三次方程，一般含有三个根。

希望我能帮助你解疑释惑。

怎么解一元三次方程

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”。 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 。

如作一个横坐标平移y=x+s/3，那么就可以把方程的二次项消去。

所以只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。例子：假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 。

由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。扩展资料含有二次项但不含有一次项的一元三次方程，经过代换后可以消掉二次项，但是却会冒出一次项出来。对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。

一个自然的想法就是如何将一般的三次方程化为不带二次项的三次方程。

一元三次方程怎么解决

一元三次方程的标准形式为ax^3+bx^2+cx+d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,所以三次方程又可简写为x^3+bx^2+cx+d=0．一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解．拓展资料:只 含有一个 未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d为 常数， x为未知数，且 a≠0）。

一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。

两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观， 效率更高。

一元三次方程解法步骤

一元三次方程的公式解法有：1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法；2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。

卡尔丹公式法:特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0(p、q∈R)。判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。卡尔丹公式X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；X2=(Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。标准型一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。

令X=Y—b/(3a)代入上式。可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。卡尔丹判别法:当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。

一元三次方程的解法是怎么样的？

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 ，如作一个横坐标平移y=x+s/3，那么就可以把方程的二次项消去。所以只要考虑形如 x3=px+q的三次方程。

 例子：假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程：a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q整理得到：a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3。由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3，这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。解方程依据1、移项变号：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘。

2、等式的基本性质：（1）等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。（2）等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。

一元三次方程怎么解？

郭敦荣回答：一元三次方程求根公式：标准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a，b，c，d∈R，且a≠0)，其解法有:1、意大利学者卡尔丹于1545年发表的卡尔丹公式法;2、中国学者范盛金于1989年发表的盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。

用卡尔丹公式解题方便，相比之下，盛金公式虽然形式简单，但是整体较为冗长，不方便记忆，但是实际解题更为直观。

公式法(卡尔丹公式)(如右图所示)若用A、B换元后，公式可简记为:x1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。折叠判别法当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根;当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等;当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。折叠推导第一步:ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)为了方便，约去a得到x^3+kx^2+mx+n=0令x=y-k/3，代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0，(y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ，k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ，所以相加后y^2抵消，得到y^3+py+q=0，其中p=-k^2/3+m，q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。第二步:方程x^3+px+q=0的三个根为:x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3);x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)，其中w=(-1+i√3)/2。

×推导过程:1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2;2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2，3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+sx^2+tx+u=0的形式。再令x=y-s/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得:(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①，如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)，则u^3=A;v^3=B，u=A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2;v=B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2，但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解:u1=A^(1/3)，v1=B^(1/3);u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2;u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω，最后:方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3);x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2;x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。一元三次方程x^3+px+q=0，(p，q∈R)的求根公式是1545年由意大利学者卡尔丹发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做卡尔丹公式(有的数学资料叫"卡丹公式")。可是事实上，发现公式的人并不是卡尔丹(卡丹)本人，而是塔塔利亚(Tartaglia N.，约1499~1557)。

发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡丹得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。

尽管卡尔丹千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。卡丹并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道:"这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。

塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡丹公式。

塔塔利亚知道卡丹把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡丹的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡丹在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡丹在一元三次方程求根公式问题上的争论，可是，名为卡丹公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的;卡丹没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡丹错有应得，但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃;而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。

卡丹用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式;称为卡丹公式是历史的误会。一元三次方程应有三个根。

塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。

他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号"塔尔塔利亚"(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。

这时，意大利数学家卡丹出场，请求塔尔塔利把解方程的方法告诉他，可是遭到了拒绝。后来卡丹对塔尔塔利假装说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，并称自己有许多发明，唯独无法解三次方程而内心痛苦。还发誓，永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三次方程式的秘密。

塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡丹。六年以后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作《关于代数的大法》中，将经过改进的三次方程的解法公开发表。后人就把这个方法叫作卡丹公式，塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。塔尔塔利亚对卡丹的背信行为非常恼怒，互相写信指骂对方。

最终在一个不明的夜晚，卡丹派人秘密刺杀了塔尔塔利亚。至于一元四次方程ax^4+bx^3 +cx^2 +dx+e=0求根公式由卡丹的学生费拉里找到了。关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位(即-1开根)。

由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数有多种表示法，诸如向量表示、三角表示，指数表示等。它满足四则运算等性质。它是复变函数论、解析数论、傅里叶。