一次函数与不等式的关系

两个一次函数的不等式解即变量的解。例如：两个一次函数y=2x和y=0.5x。我们可以列出一个不等式的表达式2x>0.5x，答案是x>0。我们要是函数表达式y=2x的值大于y=0.5x，x就必须大于0。

一次函数与方程不等式之间的关系

一次函数，二元一次方程，一元一次不等式三者之间既有联系又有区别。联系们的关系是三者都含有两个两个变量。当自变量取一个值时对应的相应的函数值这个时候表示的关系就是二元一次方程；当判断自变量在某个范围内取值对应的函数值时表示的关系就是不等式。所以说。一次函数和二元一次方程，一元一次不等式之间既有联系又有明显的区别。

一元一次不等式与一次函数是什么?

一元一次不等式与一次函数关系是：y=kx+b。

一元一次不等式是一个数学算式，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式。

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。

不等式的性质：

1、不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。

解一元一次不等式的一般方法：

1、去分母。

2、去括号。

3、移项。

4、合并同类项。

5、将x的系数化为1。

一次函数与一元一次不等式的关系

一元一次不等式:

一般的，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是一的式子叫做一元一次不等式（linear

ineqality

with

one

unknown）。

不等式的性质：

1.不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

2.不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3.不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向不变。

解一元一次不等式的一般方法：

1、去分母

2、去括号

3、移项

4、合并同类项

5、将x的系数化为1

一次函数

目录·定义与定义式

·一次函数的性质

·一次函数的图像及性质

·确定一次函数的表达式

·一次函数在生活中的应用

·常用公式（不全，希望有人补充）

·应用

【读音】yīcì

hánshù

【解释】

定义与定义式

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx

（k为常数，k≠0）

一次函数的性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b

（k为任意不为零的实数

b取任何实数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

一次函数的图像及性质

1．作法与图形：通过如下3个步骤

（1）列表[一般取两个点,根据两点确定一条直线]；

（2）描点；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线必通过原点。

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

确定一次函数的表达式

已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b

……

①

和

y2=kx2+b

……

②

（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

一次函数在生活中的应用

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

常用公式（不全，希望有人补充）

1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2

（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）

5.求两一次函数式图像交点坐标：解两函数式

应用

一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。

一、确定字母系数的取值范围

例1.

已知正比例函数

，则当m=______________时，y随x的增大而减小。

解：根据正比例函数的定义和性质，得

且m<0，即

且

，所以

。

二、比较x值或y值的大小

例2.

已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，则x1与x2的大小关系是（

）

A.

x1>x2

B.

x1

x2

C.

D.

解：根据题意，知k=3>0，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

三、判断函数图象的位置

例3.

一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（

）

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k<0。所以b<0。故一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选A

一次函数与一元一次方程或不等式的关系

一次函数的一般表达式为：y=kx+b.它有x,y两个变量,y随x的变化而变化.它所表达的函数图像是一条直线.

一元一次方程的一般表达式为：ax+b=0,它只有一个因变量x.它的解是固定的,有且只有一个解.它所表达的图像是一条与y轴平行的直线.

而 一元一次不等式的解是数轴上的一个范围,有很多个解

一次函数与不等式之间的关系

两个一次函数的不等式解即变量的解。例如：两个一次函数y=2x和y=0.5x。我们可以列出一个不等式的表式2x>0.5x，答案是x>0。我们要是函数表达式y=2x的值大于y=0.5x，x就必须大于0。