什么是傅里叶级数

一种特殊的三角级数。形如

　(1)

的级数，其中αn(n=0，1，2，…)和bn(n=1，2，…)是与x无关的实数，称为三角级数。特别，当(1)中的系数αn，bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时，级数(1)称为ƒ的傅里叶级数：

　(2)

式中ƒ是周期2π的可积函数，即ƒ∈l1(-π，π)。此时，由公式(2)得到的系数αn，bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为

。　(3)

当然，ƒ的傅里叶级数并不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x)，即

，那么双方都乘以cosnx或sinnx后，在(－π，π)上可以逐项积分，由三角函数系的正交性，即得公式(2)。所以，如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x)，级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。

问题往往是，给定函数ƒ，需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是，利用公式(2)，求出ƒ的傅里叶系数αn，bn，就得到傅里叶级数(3)。可以证明，只要ƒ满足一定的条件，那么ƒ的傅里叶级数σ[ƒ]收敛于ƒ。

傅里叶级数的收敛判别法

常用的判别法有：

（1）迪尼判别法　对固定的点x，如有数s，使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π，π]上勒贝格可积，则σ[ƒ]在点x收敛于s。由此可知，当ƒ在点x连续，并满足李普希茨条件，即

(0<u≤h)，那么σ[ƒ]在x收敛于ƒ(x)，其中M ，h，α均为正数，且α≤1。另外，当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时，σ[ƒ]一致收敛于ƒ(x)。

（2）狄利克雷－若尔当判别法　假设函数ƒ在含有点x的某区间，例如［x-h，x+h］上分段单调，则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。

上面提到的收敛判别法，对函数所提的要求，都是充分条件，并非必要的。关于收敛性判别法，还有几种。值得注意的是，至今还没有收敛的充分且必要的条件。

傅里叶级数的复数形式

三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上，

/2，

（叿n表示сn的共轭复数），那么级数(1)可写成复数形式

， 　(4)

这里，(4)的部分和Sn理解为

。假如(1)是ƒ的傅里叶级数，那么它的复数形式也是(4)，但系数

。　(5)

上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数，又称ƒ的傅里叶系数的复形式。

傅里叶系数的重要性质

列举下面两条：

（1）若ƒ(x∈l(-π，π)，则ƒ的傅里叶系数αn，bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。

（2）若ƒ(x∈l2(-π，π)，则有

。

这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列，满足条件

，那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l2(-π，π)，它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2，…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。

三角级数与单位圆内解析函数的关系

设z=eix(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数

　(6)

的实部就是三角级数(1)，虚部

　(7)

称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点，即z=reix(0≤r<1)，那么(6)就是复变数z=reix的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。

多元三角级数与多元傅里叶级数

设

为m 维欧氏空间Rm的点，级数

　(8)

称为m元三角级数，其中

，而n1，n2，…，nm为整数。假如ƒ(x)＝ƒ(x1，x2，…，xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体

Q:-π ≤xj≤π　(j=1，2，…，m)　(9)

上，ƒ是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数

那么称(8)为ƒ的傅里叶级数，并记为

多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

参考书目

A. Zygmund，Trigonometric Series，Vol. 1～2， Cambridge s，Cambridge，1959.