抛物线焦点弦公式
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几何领域的抛物线焦点弦弦长公式
定义:如果一条倾斜角为α的直线过抛物线焦点F,并交抛物线于A。B两点,则AB的长度为2P/(sinα)2(即2P除以sinα的平方)
推导过程:设两交点A(X1,Y1)B(X2,Y2)
(y2-y1)/(x2-x1)=tanα
|AB|=√[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]
设直线l为y=tanαx+b且过点(p/2,0)
即直线为y=tanαx-ptanα/2
联立得到tanα^2x^2-(tanα^2+2)px+p^2tanα^2/4=0
那么(x2-x1)^2
=(x2+x1)^2-4x1x2
=((tanα^2+2)p/tanα^2)^2-4*(p^2tanα^2/4)/tanα^2
=4p^2(tanα^2+1)/tanα^4
那么|AB|=√[(tanα^2+1)(x2-x1)^2]=2p(tanα^2+1)/tanα^2=2p/(sinα)2
抛物线焦点弦公式是什么?
焦点弦公式2p/sina^2。
抛物线是指平面内与一定点和一定直线(定直线不经过定点)的距离相等的点的轨迹,其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。它有许多表示方法,例如参数表示,标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下,也可看成二次函数图像。
在数学中,抛物线是一个平面曲线,它是镜像对称的,并且当定向大致为U形(如果不同的方向,它仍然是抛物线)。它适用于几个表面上不同的数学描述中的任何一个,这些描述都可以被证明是完全相同的曲线。
抛物线的一个描述涉及一个点(焦点)和一条线(准线)。焦点并不在准线上。抛物线是该平面中与准线和焦点等距的点的轨迹。抛物线的另一个描述是作为圆锥截面,由圆锥形表面和平行于锥形母线的平面的交点形成。第三个描述是代数。
焦点弦:
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦。焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的,焦点弦长就是这两个焦半径长之和。连接圆锥曲线上任意两点得到的线段叫做圆锥曲线的弦。若这条弦经过焦点,则称为焦点弦。焦点弦也可以看成由同一直线上的两条焦半径构成。
抛物线焦点弦长公式是什么?
焦点弦公式2p/sina^2。
证明:设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a(x1,y1),b(x2,y2)。
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0,所以,x1+x2=p(k^2+2)/k^2。
由抛物线定义,af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,bf=x2+p/2。
所以:
ab
=x1+x2+p
=p(1+2/k^2+1)
=2p(1+1/k^2)
=2p(1+cos^2/sin^2a)
=2p/sin^2a
抛物线四种方程的异同
一、共同点:
①原点在抛物线上,离心率e均为1。
②对称轴为坐标轴。
③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别对称于原点,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
二、不同点:
①对称轴为x轴时,方程右端为±2px,方程的左端为y^2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,方程的左端为x^2。
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x(或y轴)的负半轴相同时,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号。
抛物线焦点弦长公式是什么?如何求解?
焦点弦长公式推导过程如下:
焦点弦公式2p/sina^2证明:
设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,
整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2
由抛物线定义,AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2, BF=x2+p/2
所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a
扩展公式
抛物线:y = ax1 + bx + c (a≠0)。
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c。
a >0时开口向上。
a <0时开口向下。
c = 0时抛物线经过原点。
b = 0时抛物线对称轴为y轴。
还有顶点式y = a(x-h)1 + k。
h是顶点坐标的x。
k是顶点坐标的y。
一般用于求最大值与最小值。
抛物线标准方程:y1=2px。
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2。
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y1=2px,y1=-2px,x1=2py,x1=-2py。
抛物线求焦点弦公式是什么?
焦点弦公式2p/sina^2
证明:设抛物线为y^2=2px(p>0),过焦点f(p/2,0)的弦直线方程为y=k(x-p/2),直线与抛物线交于a(x1,y1),b(x2,y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px,整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0
所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2
由抛物线定义,af=a到准线x=-p/2的距离=x1+p/2,
bf=x2+p/2
所以ab=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a
抛物线有关切线、法线的几何性质
1、设抛物线上一点P的切线与准线相交于Q,F是抛物线的焦点,则PF⊥QF。且过P作PA垂直于准线,垂足为A,那么PQ平分∠APF。
2、过抛物线上一点P作准线的垂线PA,则∠APF的平分线与抛物线切于P。从这条性质可以得出过抛物线上一点P作抛物线的切线的尺规作图方法。
3、设抛物线上一点P(P不是顶点)的切线与法线分别交轴于A、B,则F为AB中点。这个性质可以推出抛物线的光学性质,即经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线(面)的这个性质,让光源处在焦点处以发射出(准)平行光。
4、设抛物线上除顶点外的点P的切线交轴于A,交顶点O的切线于B,则FB垂直平分PA,且FB与准线的交点M恰好是P在准线上的射影(即PM垂直于准线)。
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