什么是拓扑动力系统

又称抽象动力系统，是具有连续性质的动力系统。它是通过拓扑映射（不一定通过微分方程）来定义的。设常微分系统

(*)

的右侧函数

，且满足解的惟一性条件，

为n维欧几里得空间。由于S(x)与t无关，不失一般性，可设(*)的每个解φ(x，t)在整个实轴I上有定义，于是它确定了

×I到

的变换，满足：

（1）初值条件：φ(x，0)=x；

（2）φ(x，t)对x，t一并连续；

（3）群的条件：即对任意x∈

，任意t1，t2∈I有

；

（4）φ(x，t)对t可微。

为了更一般地研究问题，可以抛开常微分系统，并假设空间是一般的度量空间R。设φ(x，t)是R×I到R且满足性质①、②、③的单参数连续变换群，则所有这些变换的全体称为拓扑动力系统或抽象动力系统，记作

，其中参数t代表时间。点集{φ(x，t)，t∈I}称为过点x的轨线或轨道，记作φ(x，I)。仿此，称

为正半轨线，

为负半轨线。φ(x；

为弧段。当t∈I +(半群)，

称为半动力系统或半流；当t∈N（整数加群），

称为离散动力系统或离散流。若φ(x，t)=x，对一切t∈I，则称点x为休止点，若φ(x，t+ω)＝φ(x，t)，对一切t∈I，其中ω>0，则称φ(x，t)为周期轨线，满足上述等式的最小正数ω，称为周期轨线的周期。

例如，下面是一个有趣的拓扑动力系统──别布托夫系统。

令勪

。对于ƒ(x)，g(x)∈勪 ，定义距离

。

对距离ρ，勪 构成完备的可分的度量空间。定义映射φ：勪×I→I 如下：

，

于是它构成一个拓扑动力系统，称为别布托夫系统，简记为

。

由n个符号所组成的一切可能的双无穷序列，在上述类似的距离和轨线的定义下，组成动力系统，称为符号动力系统，它可视为

的子系统。很多拓扑动力系统可嵌入

成为它的子系统。

若ƒ(x)呏с，则φ(ƒ(x)，t)是休止点；若 ƒ(x+ω)＝ƒ(x)，对一切x∈I，其中ω>0，则φ(ƒ(x)，t)是周期轨线。周期轨线在

中处处稠密。另外

中含有在勪中处处稠密的轨线。

极限点集及轨线分类

G.D.伯克霍夫认为，动力系统理论主要是研究各种轨线的类型及其间的关系。为了研究轨线的分类，必须了解轨线在无穷时(t→±∞)的状态。

极限点集

设：实数列

。如果有

，则称点y是轨线 φ(x，t)的ω-极限点，Ωx表示φ(x，t)的一切ω－极限点集。若

，则称y是φ(x， t)的α－极限点，Ax表示φ(x， t)的一切α－极限点集。

不变集

设给定集合A吇R，若对一切t∈I，φ(A，t)=A，则称A是不变集。Ωx和Ax是闭的不变集。任何一条轨线是不变集，但不一定是闭集。

极小集

集合∑吇R称为极小集，若它是非空、闭的且不变;同时它没有任何真子集也具有这三条性质。显然，Σ中的每一条轨线在Σ上处处稠密。另外，在

上所定义的拓扑动力系统，若对轨线φ(x，t)而言，

，则φ(x，I)就是一个极小集，但它不是紧致的。而比较有趣的是紧致极小集，如休止点和周期轨线就是紧致极小集。在R2上定义的连续动力系统的紧致极小集只能是休止点和周期轨线。但当R≠R2时，情形就不同了。

例如，

式中θ，φ的周期都为1。这样就在二维环面T2上定义了动力系统。当у是有理数时，T2上都是周期轨线；而у是无理数时， T2上的每条轨线在其上处处稠密，T2构成紧致极小集。

又如，前例中，当у是无理数时，令

，

，式中

(θ，φ)是对θ，φ周期都为1的连续周期函数。对

；当

，

。直观地说，这就是将前例中的一条过点p且在T2上处处稠密的轨线用奇点p切断。这时T2不再是极小集，而奇点p是极小集。

伯克霍夫证明，若R是紧致度量空间，则在其上定义的动力系统Rt至少包含一个紧致极小集。

当R是紧致的二维定向流形，在其上定义了C2光滑动力系统。若A是Rt的极小集且在R上无处稠密，则A必是休止点或周期轨线。若Ωx中不包含休止点或周期轨线，则Ωx=T2=R。但当Rt只是C1光滑时，A.当儒瓦在1931年举出过反例（见常微分方程定性理论）。

轨线分类

根据轨线的极限点的性质，可分为：

（1）若Ωx=═，则称φ(x，t)为正向远离；

（2）若Ωx≠═，但φ(x，I)∩Ωx=═，则称φ(x，t)为正向渐近；

（3）若

，则称φ(x，t)为正向泊松稳定，简称p+稳定。

仿此，有负向或双侧的远离、渐近和泊松稳定轨线，后者分别简称为p-或p稳定。休止点和周期轨线是p稳定的。R2上的连续动力系统的 p稳定轨线只能是休止点或周期轨线，且其上的 p+或p- 稳定轨线必是p稳定轨线。而当R≠R2时，情形就完全不同了。如前述的T2上被奇点切成两段的轨线， 一条是p+稳定的， 另一条是p-稳定的，而T2上其余的都是p 稳定的轨线。比起远离和渐近轨线来，p 稳定轨线是较复杂和较有兴趣的。从天体力学观点看，p稳定轨线在它的运行过程中，将不断地在其轨线的任一点的任意小邻域内再现。与此现象相反的是下面的情形。

设点x∈R，若存在它的邻域U(x)及时间T>0，使得当t≥T 时，U(x)∩φ(x，t)=═，则称x为游荡点。R上的所有游荡点集W是R上的不变开集。V=RW是相对于R的非游的点集，它是不变闭集。所有p稳定轨线上的点都是非游荡点。反之，却不然。如前述的被奇点切断的那条轨线，若再用有限个奇点将它切断，则每两个奇点之间的那些轨线就既非p-稳定也非p+稳定，但其上都是非游荡点。

对于p稳定轨线φ(x，t)，根据在其运行过程中，它在轨线上任一点的任意小邻域中再现的时间序列的性质不同，可分成很多类型，除了周期轨线外，最重要的是以下两类。

若对任给ε>0，存在T(ε)>0及I上对T(ε)而言的相对稠密集{τn}，使得对一切t∈I和一切τn，有ρ(φ(x，t)，φ(x，t+τn))<ε，则称轨线φ(x，t)是几乎周期轨线（或称概周期轨线）。周期轨线便是几乎周期的，若周期轨线的周期为ω>0，则可取T(ε)=ω，τn=nω。

若上述相对稠密集{τn}是依赖于轨线上的点y=φ(x，t)或者说依赖于t的，即{τn(t)}，则称φ(x，t)为回复轨线。回复轨线和几乎周期轨线的闭包的性质是不同的。伯克霍夫证明，紧致极小集内的每条轨线都是回复的;反之，在完备空间内回复轨线的闭包是紧致极小集。而紧致极小集Σ成为几乎周期轨线的闭包的充分必要条件是：Σ是紧致、交换、连通拓扑群。

前例中未被奇点切断的轨线都是p稳定的，但它们不是回复的。类似地，可构造双周期函数

(θ，φ)，使得整个环面T2是回复轨线的闭包而不是几乎周期轨线的闭包。

A.M.李亚普诺夫稳定性（见常微分方程运动稳定性理论）、吸引区等概念已经推广到拓扑动力系统。对非自治微分方程的解来引进动力系统，即所谓“斜积流”，这是值得注意的动向。