线性相关与无关的判断方法

线性相关与无关判断方法：

1、显式向量组：将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换， 将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩向量组线性相关 <=> 向量组的秩<向量组所含向量的个数。

2、隐式向量组：一般是设向量组的一个线性组合等于0，若能推出其组合系数只能全是0， 则向量组线性无关，否则线性相关。



线性相关与线性无关怎么判断？

设矩阵A为m*n阶矩阵。矩阵A的秩为r，若r=n，则矩阵列向量组线性无关，若r<n，则矩阵列向量组线性相关。同理若r=m，则矩阵行向量组线性无关，若r<m，则矩阵行向量组线性相关。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关若a≠0, 则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

扩展资料：

若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

正比例关系是线性关系中的特例，反比例关系不是线性关系。更通俗一点讲，如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标。

其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。即如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话，这两个变量之间的关系称为线性关系。

参考资料来源：百度百科——线性相关

怎么判断是线性相关，还是线性无关，要完整的

1、显式向量组：

将向量按列向量构造矩阵A，对A实施初等行变换，将A化成梯矩阵，梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

向量组线性相关 <=>向量组的秩 <向量组所含向量的个数

2、隐式向量组：

一般是设向量组的一个线性组合等于0，若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关，否则线性相关。

扩展资料：

线性相关增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

常数对是否构成直线关系没影响（假定常数不为0）如：x=k*y+l*z+a（k，l是常数，y，z是变量，a是常数）那么x与y，z还是线性的，因为项：k*y是一次的，l*z这项也是一次的，常数项a没影响。

如：x=7*y+8*z是线性的，x=－y－2*z是线性的。x=2*y*z是非线性的（因为2yz这一项不是一次的）。

从二维图像来讲（假定只有y跟x这两个变量），线性的方程一定是直线的，曲的不行，有转折的也不行。

参考资料来源：百度百科——线性相关

参考资料来源：百度百科——线性关系

线性代数线性相关与无关的判断方法

第一种从定义出发寻找一组非零常数，第二种求常数项的秩或者行列式，第三种寻找向量的个数是多少，如果多数向量可以由少数向量线性表示那么多数向量一定是线性相关。扩展资料

设A为a1(1,0,6,a1),a2(1,-1,2,a2),a3(2,0,7,a3),a4(0,0,0,a4)。判断哪些向量一定是线性相关的，并且a1,a2,a3,a4是任意常数。a2,a3,a4秩的确定跟a的取值有关系，首先一行以及2,3，一定是线性相关。a1,a2,a3,a4一定是线性无关的无论a取任何值，秩一定是3的。

考察极大线性无关组的定义，定义里说存在r个向量使得线性无关但是再加进去任何一个向量就变成线性相关的了。这里确定的是加入任何一个向量一定是线性相关的，但是这r个向量却不一定是线性无关的。

线性无关的定义，对于所有的向量其前面的所有的常数都是0向量组才等于0向量那么这个向量组是线性无关的。换一句话就是只要存在一个常数不是0那么这个向量组一定不是线性相关或者说是方程一定不是齐次的`。

已知一个矩阵以及增广矩阵去证明b向量可以由A向量组线性表示，那么首先确定的就是A的秩假设为r那么加进去以后秩还是一样可以得到一个十字r(a1,a2,)=r(a1,a2,,b)容易发现其实就是线性表示的等价。

从极大线性无关组出发假设A的极大线性无关组是，那么增广矩阵的秩等于A的秩也就是说增广矩阵是线性相关的。根据定义一个向量组线性无关填进去任何一个向量就变成线性相关的那么这个新填进去的一定是可以被线性表示的，并且表示方法是唯一的。

线性相关和线性无关的判断公式，谁记得？

|行列式|=0是线性相关。

拓展资料

线性相关和线性无关证明方法：

常用方法有两个：定义法结合拆项或重组 || 用秩 。

线性无关：秩等于向量个数，齐次方程组只有零解。

从线性组合来看:

如果向量组α1,α2,...,αs(s≥1)线性相关

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1,k2,...,ks不全为0.

如果向量组α1,α2,...,αs(s≥1)线性无关

⟷k1α1+k2α2+...+ksαs=0,其中k1=k2=...=ks=0.

从线性表出来看:

如果向量组α1,α2,...,αs(s≥2)线性相关

⟷其中至少有一个向量可以由其他向量线性表出.

如果向量组α1,α2,...,αs(s≥2)线性无关

⟷其中每一个向量都不可以由其他向量线性表出.

从齐次线性方程组来看:

如果列向量组α1,α2,...,αs(s≥1)线性相关

⟷齐次线性方程组x1α1+x2α2+...+xsαs=0有非零解.

如果列向量组α1,α2,...,αs(s≥1)线性无关

⟷齐次线性方程组x1α1+x2α2+...+xsαs=0只有零解.

怎样简单的判断线性相关和线性无关

一、 定义与例子 :定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得 那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关. 含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为 其中, 不全为零. 只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解. 例1 向量组 是线性无关的 . 解: 设有 使 , 即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得 , 所以向量组 线性无关. 例2 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组 也线性无关. 证明: 设有 使 , 即 , 因为 线性无关, 故有 此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关. 定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 . 证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有 , 即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 . 充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 . 不妨设 , 则 , 因为 不全为零, 所以 线性相关. 二、向量组线性相关和线性无关判别定理 :设矩阵 的列向量组为 , 矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理: 定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性. 证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线性相关性. 定理 9.3 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关. 证明 :向量组 线性相关,即存在不全为零的数 使 , 于是 , 但是 , 仍不全为零,因此,向量组 线性相关. 推论 9.4 线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组. 定理 9.5 设有 维向量组 与 维向量组 如果向量组 线性无关,那么,向量组 也线性无关. 推论 9.6 维向量组的每一个向量添加 个分量成为 维向量.如果 维向量组线性无关,那么, 维向量组也线性无关.反言之,如果 维向量组线性相关,那么, 维向量组也线性相关. 定义 9.2 在 型的矩阵 中,任取 行 列 ,位于这些行列交叉处的 个元素,不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶矩阵行列式,称为矩阵 的 阶子式. 型矩阵 的 阶子式共有 个. 定理 9.7 设 维向量组 构成矩阵 则向量组 线性无关的充分必要条件是矩阵 中存在一个不等于零的 阶子式. 推论 9.8 个 维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的 阶矩阵的行列式不等于零. 推论 9.9 当 时, 个 维向量 必线性相关. 思考题：1、 举例说明下列各命题是错误的 (1) 若向量组 线性无关，则 可由 线性表示(2) 若有不全为零的数 使 则 线性相关, 也线性相关(3) 若只有当 全为零时, 等式 才能成立 线性无关, 也线性无关(4) 若 线性相关, 也线性相关, 则有不全为零的数 , 使 同时成立. 2、 判断下列向量组是否线性相关 : (1) (2) (3) (4) . 3． 设向量组 线性无关, 讨论向量组 的线性相关性 . 4、 设向量组 线性无关, 线性相关, 则 必可由向量组 线性表示. 5 、选择题 (1) 维向量组 线性无关的充分必要条件是 A. 存在一组不全为零的数 , 使 B. 中任意两个向量都线性无关 C. 中存在一个向量 , 它不能由其他向量线性表示 D. 中任意一个向量都不能被其他向量线性表示 . (2) 已知向量组 线性无关, 则向量组 A. 也线性无关B. 也线性无关C. 也线性无关D. 也线性无关. (3) 设有任意两个 维向量组 与 . 如果存在两组不全为零的数 与 使 则 A. 与 . 线性相关B. 与 . 线性无关C. 线性无关D. 线性相关.