什么是伊辛模型

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描述物质相变的一种模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。

在铁和镍这类金属中，当温度低于居里温度（见铁磁性）时，原子的自旋自发地倾向某个方向，而产生宏观磁矩。温度高于居里温度时，自旋的取向非常紊乱，因而不产生净磁矩。当温度从大于或小于两边趋于居里温度时，金属的比热容趋于无限大。这是物质在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变，它并不包含在P.厄任费斯脱所分类的相变中。伊辛模型就是模拟铁磁性物质的结构，解释这类相变现象的一种粗略的模型。它的优点在于，用统计物理方法，对二维情形求得了数学上严格的解。这就使得铁磁性物质相变的大致特征，获得了理论上的描述。

这个模型所研究的系统是由N个阵点排列成n维周期性点阵，这里n=1，2，3。点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值+1或－1的自旋变数si，如果si＝+1，即第i个阵点的自旋向上；如si＝-1，即第i个阵点的自旋向下。并且认为只是最近邻的自旋之间有相互作用。点阵的位形用一组自旋变数{si}（i＝1，2，…，N）来确定。图1是一个二维伊辛模型的示意图，图中挋表示自旋向上，挌表示自旋向下。

处理方法

20世纪30年代初，不少科学家如W.L.布喇格、E.J.威廉斯、H.A.贝特、R.E.佩尔斯等人就已从有序－无序转变问题及点阵气体等模型出发，采用平均场近似法处理伊辛模型。

布喇格－威廉斯平均场近似法认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。用这种方法可求得下列公式

式中μ是每个自旋的磁矩，n┡是每一阵点的最近邻数，H是外磁场强度，T是热力学温度，ε是自旋同向的最近邻对之间的相互作用能（铁磁性物质ε＜0，非铁磁性物质ε＞0），k是玻耳兹曼常数，m是每个自旋上的磁化强度，可表示为

，其中N是总阵点数，

、

分别代表自旋向上和向下的总阵点数，显然

=N。

由此研究铁磁性物质的性质，得到如下结论：存在一临界温度

，当T＞Tc而H＝0时，物质不磁化，没有相变；当T＜Tc时，尽管仍有H=0，但磁化强度m可不为零（可取正值或负值），铁磁性物质存在相变。这个结论对一维、二维、三维点阵都应成立，但严格的证明指出，二维、三维伊辛模型在临界温度以上仍有相变。这反映了平均场近似法的简单、粗糙。当然，用它处理临界温度以下铁磁性物质的相变，仍是一种有意义的方法。

20世纪40年代L.昂萨格对伊辛模型采用解析法得到了严格解，作出了突出的成就。这种方法的基本点，是设每个阵点的自旋变数可取+1和－1两个值，考虑阵点上自旋的某个位形，计算每个自旋同最近邻自旋的相互作用能量以及同外磁场相互作用能量，再对全部可能的位形求和，用矩阵的方法求出配分函数，从而得到各个热力学函数。

一维情况

考虑具有N个自旋的直线链（图2所示），每个自旋仅同它的两个最近邻自旋及外磁场相互作用。相互作用的总能量即由{s0，s1，s2，…，sN-1}所确定的位形能量是

，式中

是对最近邻自旋对求和，

表示对所有自旋坐标求和。配分函数可写作

定义一个2×2矩阵p1，它的矩阵元是

，因为s0=±1，s1=±1，故矩阵p1可表示为

如果采用周期性边界条件sN＝s0，或设想将直线链弯成闭合的圆链，并将初端与尾端相接(图3)，配分函数ZI可表示成矩阵形式

，式中tr表示矩阵的迹，它是

的对角元之和。由此计算可以求出ZI，对于N 很大的链，则有

。磁化强度是

，

m(T，H)同μH的关系如图 4所示。当H→0时，对于T＞0，有m(T，0)＝0。可见，一维伊辛模型没有自发磁化即不显示铁磁性，因而不发生相变。

在一维伊辛模型中，不论铁磁性或反铁磁性，都不会实现有序的状态。如对于ε＜0的铁磁性物质，在绝对零度时，所有自旋取向都是相同的，此时，处于能量最低的状态。然而，如果热力学温度不等于零，是有限的，则平均位形由两种相反的、相互竞争的趋向所决定。一个是各个自旋的取向完全一致，使能量最低；另一个是各个自旋的取向为随机的，使熵最大。由于一维伊辛模型中每个自旋没有足够多的最近邻自旋，因而不可能出现所有自旋取向完全相同的情况，而是如图5所示。